X
تبلیغات
ریاضی - ریاضی دبیرستان
تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

آنالیز ترکیبی

ترکیبیات،ریاضیات انتخاب و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخه‌های جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائل شمارش،گرافها ، بازی‌ها و نیز مسائل ساختاری روی مجموعه‌ها متناهی می پردازد. از جمله کاربردهای مهم این شاخه میتوان به استفاده آن در برنامه نویسی کامپیوتر  و الگوریتم‌ها اشاره کرد. یکی از مسائلی که ترکیبیات را از دیگر شاخه‌های ریاضی متمایز می‌کند این است که آموختن آن نیاز به اطلاعات خاصی از ریاضیات ندارد و داشتن معلومات ریاضی دوره راهنمایی نیز برای درک آن کافی به نظر می رسد چرا که ریشه‌های ترکیبیات در واقع به مسائل معماگونه ریاضی و بازیها میرسد. بسیاری از مسائل ترکیبیات که در گذشته برای تفریح بررسی شده اند امروزه اهمیت زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارند. در قرن اخیر ترکیبیات به یکی از مهمترین شاخه‌های ریاضیات تبدیل شده و مرزهای آن همواره گسترش پیدا می‌کند که یکی از مهمترین علل این گسترش سریع، اختراع کامپیوتر می باشد: به علت سرعت بالای کامپیوترها بسیاری از مسائلی که قبلا قابل بررسی نبودند، بررسی شدند. البته تقابل کامپیوتر و ترکیبیات یک طرفه نبوده است و کامپیوترها نمی توانستند مستقل عمل کنند و برای عمل نباز به برنامه داشتند. اساس برنامه‌های کامپیوتری غالبا الگوریتمهای ترکیبیاتی اند و به همین دلیل اهمیت و کاربرد ترکیبیات پس از اختراع کامپیوتر چندین برابر معلوم شد و باعث شد تا ریاضیدانان بسیاری به تحقیقات گسترده در این زمینه رو آوردند. مباحث ترکیبیات بسیار گسترده اند ولی اساس آن بر پایه روشهای شمارش است که از جمله این روش‌ها می توان به اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت اشاره کرد . یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می گیرد. ولی به نظر می رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه‌های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می شود. یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه هایی چون نظریه کدگذاری ، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتم ها (در علم کامپیوتر) دارد.

قواعد

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می کنیم قاعده‌های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده‌ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مسئله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول 

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد: قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد، آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.


توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی دربارهٔ جامعه‌شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان‌شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر دربارهٔ این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد. مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه‌ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه‌مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم 

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است. مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی دربارهٔ توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست دربارهٔ نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است دربارهٔ نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا دربارهٔ تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب 

اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.

جایگشت 

مفهوم جایگشت که یکی از مفاهیم مهم در اصول شمارش است را می توان در اثر عبری سفر یتزیر (سفر آفرینش)، که دستنوشته ای است از یک صوفی بین سالهای 200و 600، یافت. ولی شایان توجه است که، حتی قبل از آن، یکی از نتایجی که زنوکراتس از اهالی کالسدان (396 - 314 قبل از میلاد مسیح) به دست آورده بود احتمالاً حاوی «نخستین تلاش ثبت شده برای حل مسئله ای دشوار دربارهٔ ترتیبها و ترکیبها» است. نخستین متن درسی که دربارهٔ برخی از مباحثی که ما در این فصل مورد بحث قرار دادیم کتاب فن حدس زدن اثر ریاضیدان سویسی یاکوب برنولی یکی از هشت ریاضیدان برجسته خانواده برنولی، است. این کتاب مدتی پس از فوت یاکوب برنولی در 1713 منتشر شد و شامل تجدید چاپ نخستین رساله صوری دربارهٔ حساب احتمالات بود. این رساله در 1657 به وسیله کریستیان هویگنس فیزیکدان، ریاضیدان، و منجم هلندای که حلقه‌های دور مشتری را کشف کرد، نوشته شده بود.

ارائه قضیه دو جمله ای 

بلز پاسکال

قضیه دو جمله‌ای به ازای 2n= در اثر اقلیدس ) 300 سال قبل از میلاد مسیح) دیده می شود، ولی عملاًدر قرن شانزدهم اصطلاح «ضریب دو جمله ای» به وسیله میشل اشفل وضع شد. او در اثرش به نام حساب صحیح ضرایب دو جمله ای را تا مرتبه به دست می دهد. بلزپاسکال در پژوهشهای خود دربارهٔ حساب احتمالات، در دهه 1650 رساله ای منتشر کرد که در آن ارتباطهای موجود ضرایب دو جمله ای، ترکیبها، و چند جمله ایها را بررسی می کرد. این نتایج را یاکوب برنولی هنگام اثبات صورت کلی قضیه دو جمله ای، با روشی مشابه با آنچه ما در این فصل ارائه کردیم، به کار برد. استفاده از نماد تا قرن نوزدهم که به وسیله آندره اس فن اتینگهاوزن به کار برده شد، هنوز متداول نشده بود.


در قرن بیستم بود که ظهور کامپیوتر امکان تحلیل منظم و اصولی فرایندها و الگوریتم هایی را که برای تولید جایگشتها و ترکیبها به کار می روند. فراهم ساخت. به طور کلی برای شمارش جایگشت از روش زیر استفاده می کنند.


اگر به عنوان n شی دو به دو متمایز باشند آنگاه هر حال کنار هم قرار گرفتن این n شی کنار هم در یک ردیف را یک جایگشت از این n شی می گوییم. برای ردیف کردن این n شی کنار هم به n مکان نیاز است. برای قرار دادن اولین شی در خانه اول n حالت انتخاب داریم. برای قرار دادن دومین شی در خانه دوم n-1 حالت انتخاب داریم و به همین ترتیب برای قرار داردن n امین شی باقی مانده در خانه nام(خانه اخر) 1 حالت انتخاب داریم به این ترتیب بر طبق اصل ضرب برای قرار دادن این n شی در کنار هم در یک ردیف:

حالت وجود دارد که برابر می باشد با:  

به این ترتیب تعداد حالات جایگشت n شی دو به دو متمایز برابر است.

مثال: به چندطریق می توان 5 کتاب متفاوت را کنار هم در یک قفسه قرار داد؟ 

پاسخ: برطبق توضیحات داده شده جواب برابر است با:


جایگشت خود می توان به 2 بخش تقسیم شود: 1- جایگشت با تکرار 2- جایگشت دوری

جایگشت با تکرار 

در قسمت قبل در مورد گونه ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلا 3 عدد از انها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می کند. با یک مثال روش محاسبه را توضیح می دهیم و سپس فرمولی برای محاسبه حالات بیان می کنیم:

فرض کنید می خواهیم فقط با ارقام 1.2.2.3 اعداد چهار رقمی بسازیم. یعنی عدد 1 یکبار، عدد 2 دو بار، عدد 3 یکبار آمده باشد. بدیهی است که اگر این چهار رقم متمایز و به غیر صفر بودند تعداد اعداد برابر 24=!4 عدد می شد ولی اصل ضرب در این مورد ناخواسته دو عدد 2 را متمایز در نظر گرفته است و مثلا 1223 و 1223 را دو حالت متمایز در یظر گرفته است در حالی که این دو تفاوتی با هم ندارند. با نوشتن تعداد حالات متوجه میشویم که تعداد حالات واقعی این جایگشت !2 برابر مقدار محاسبه شده با اصل ضرب است به این ترتیب تعداد حالات واقعی برابر است. پس به این ترتیب تعداد k شی از یک نوع، به اندازه !K حالات اضافه تولید می کنند که باید از کل حالات که با اصل ضرب محاسبه می‌شود برداشته شوند.

تعریف: اگر n شی در اختیار داشته باشیم که تا از نوع اول، تا از نوع دوم، تا از نوع سوم،....و تا از نوع k ام باشند به گونه ای که این n شی به طریق می توانند در کنار هم قرار بگیرند. در فرمول فوق علت تقسیمها حذف حالات اضافی بوجود آمده است.

مثال: 8 پرچم موجوداند که 3تا به رنگ آبی و 2تا به رنگ قرمز و 3تا به رنگ سفید یکسان هستند.اگر قرار باشد این پرچم ها در یک ردیف کنار  
هم قرار گیرند چند علامت متمایز 8 پرچمی می توان ساخت؟

پاسخ:بر طبق مطالب فوق و فرمول ارائه شده تعداد حالات برابر است با:
واضح است که در این سوال پرچمهای آبی !3 و قرمز !2 و سفید !3 حالت اضافی تولید می کنند که باید از حالات کل یعنی !8 حذف شوند.
جایگشت دوری 

تا به حال در مورد جایگشتهایی بحث کردیم که در مورد کنار هم قرار دادن چند شی در یک ردیف بودند. حال می خواهیم گونه ای جایگشت را بررسی کنیم که در آن اشیا به صورت دوری در کنار هم قرار گیرند. با یک مثال نحوه محاسبه تعداد حالات جایگشت را توضیح می دهیم و در نهایت فرمولی برای محاسبه ان ارائه می دهیم: فرض کنید می خواهیم تعداد حالاتی را که ممکن است 3 نفربه دور یک میز گرد بنشینند محاسبه کنیم. اگر قرار بر این بود که این افراد در یک ردیف کنار هم باشند این عمل به 6=!3 حالت صورت می پذیرفت. اما در نشستن به دور میز گرد مسئله متفاوت است چرا که بر طبق شکل در این جایگشت هر 3 حالت:


یک حالت محسوب می شوند چرا که هر یک دوران یافته دیگری در یک زاویه معین است و نیز هر سه حالت:


نیز یک حالت محسوب محسوب می شوند. پس تعداد کل حالات متمایز برابر دو عدد است.


به عبارت دیگر می توان A را یکجا قرار داده و B و C را در اطراف او نشاند. این کار به !2=!(2-3) طریق رخ می دهد.

نتیجه: در حالت کلی برای محاسبه جایگشت‌های دوری n شی دو به دو متمایز ابتدا یکی آنها را ملاک قرار داذه(فرق نمی کند کدام را) و سپس n-1 شی باقی مانده را به !(n-1) حالت به دور او قرار می دهیم.


تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

فاکتوریل

به حاصلضرب اعداد 1 تا n , n فاکتوریل گویند و آن را با نماد !n نمایش میدهند.

فاکتوریل (به فرانسوی: Factorielle) هر عدد طبیعی در ریاضیات از حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیح و مثبت (اعداد طبیعی) کوچک‌تر از آن به دست می‌آید. فاکتوریل عددی مانند n را !n می‌نویسند و «اِن فاکتوریل» می‌خوانند. همچنین طبق قرارداد، فاکتوریل صفر همیشه برابر با یک است.

فاکتوریل برای اولین بار توسط کریستین کرامپ و در سال ۱۸۰۸ معرفی شد.

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
20 2,432,902,008,176,640,000
25 15,511,210,043,330,985,984,000,000


تعریف 

تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:

 n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N} . \!

این تابع به وسیله توابع بازگشتی بصورت زیر تعریف می‌شود:

 n! = \begin{cases}
n \leq 1 & 1 \\
n > 1 & n (n-1)! \\
\end{cases}
\qquad \forall n \in \mathbb{N}.

مثال 

5 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \



6 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \



تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

باز هم ریاضی!!؟؟

کودکان امروز که آینده سازان جامعه فردایند نیاز به تقویت احساس دارند. معلمین نیز باید فرصتی را برای دانش آموزان فراهم آورند که پیشرفت خود را احساس کنند، زیرا هیچ عاملی به اندازه پیشرفت و موفقیت شخص را به کوشش و فعالیت وادار نمی سازد. باید احساس توانمندی را در آنها تقویت کرد.
مطابق نظریه شناخت بندورا (۱۹۹۷) باورهایی که فرد درباره توانایی های خویش دارد مهمترین عاملی است که رفتارهای آینده او را پیش بینی می کند.
میزان تلا ش، مداومت و پایداری بر انجام تکلیف، مایوس نشدن در مواجهه با شکست و خلا صه، انگیزه و پشتکار فرد برای انجام تکالیف، همگی تحت تاثیر باورهای خودکارآمدی و اعتماد به نفس او قرار می گیرند.
در بیشتر موارد به این دلیل دانش آموز در درس خواندن سستی و اهمال می کند که فکر می کند که تلا ش او بی ثمر است، یا فاقد توانایی لا زم برای موفق شدن است معلمی هستم که همواره با مساله ضعف اکثر دانش آموزان در حل مسائل و تمرینات ریاضی مواجه بوده و از خود پرسیده ام «چگونه می توانم ضعف دانش آموزان در درس ریاضی را بهبود بخشم؟» و این نه تنها نظر من بلکه نظر عده زیادی از همکاران و اولیای دانش آموزان نیز بوده و هست، همواره در پی رفع و بهبود آن بوده و از روش های مختلفی که به نظرم می رسیده استفاده کرده ام تا اینکه در سال تحصیلی جاری با توجه به راههای زیاد دیگری از جمله ایجاد انگیزه و آمادگی ذهنی دانش آموزان، ارتباط و توالی مفاهیم مختلف با یکدیگر و با اطلا عات قبلی دانش آموز، توانایی ارتباط صحیح و منطقی با دانش آموزان و... انجام می شد توجهم به مساله مهمی یعنی نقش اعتماد به نفس و احساس توانمندی در دانش آموزان در بهبود درس ریاضی از نظر حل مساله و تمرین، برخوردم و با اجرای آن به نتایج نسبتا مثبتی دست یافتم.
سعی کردن تک تک دانش آموزان را به آوردن پای تخته در بیشتر روزها و حل کردن تمرین توسط خودشان تشویق کرده و احساس توانمندی در آنها ایجاد کنم.
- برای اولیا جلسه گذاشته و از آنها خواستم بدون کمک، بر انجام تکالیف ریاضی فرزندان خود نظارت داشته و بخواهند تکالیف را حتما انجام دهند هر چند که بگوید بلد نیستم.
- با خود دانش آموزان صحبت کرده و خواستم برای حل مساله یا تمرین ابتدا با دقت به آن توجه کرده و ببینند سوال از آنها چه می خواهد، مثلا برای حل مساله لازم است:
- مساله مورد بحث را درست بفهمند
- معلومات و مفروضات آن را مشخص کنند.
- ارتباط آنها را درک نمایند.
- از طریق سازمان دادن به مفروضات راه مورد نظر را کشف کنند
- ضمن کارها و تشویق های کلاسی با هر پیشرفتی در درس ریاضی، هر دانش آموز به نسبت توانمندی خودش مورد تشویق قرار گرفته و به او امتیاز داده می شد.
مهر مخصوص درس ریاضی در نظر گرفته شد و به ازای حل درست تمرینات به شرط توضیح و چگونگی حل درست مساله در پای تخته، دفتر ریاضی و اوراق امتحانی او مهمور به مهر مخصوص و گرفتن امتیاز می شد.


از معاون و مدیر مدرسه خواسته شد که با توجه به اوراق امتحانی ماهانه و مستمر دانش آموزان در صورت پیشرفت در درس ریاضی آنها را مورد تشویق قرار دهند.
- از اولیا نیز خواسته شد که با صحبت های دلگرم کننده که با فرزندانشان می کنند بر توانمندی و اعتماد به نفسشان تاکید کرده، ولی حساب شده و ظریف عمل کنند و برای تلقین احساس توامندی به فرزندان خویش به شواهد عینی و واقعی استناد کنند، یعنی ابتدا نکته های مثبت و موفقیتآمیز عملکرد فرزندان خود را هر چند هم که اندک باشد انتخاب کنند و سپس براساس آن موفقیت ها به او بگویند که حتما دارای توانایی لازم هست و و می تواند موفق باشد.


چند پیشنهاد طلایی در حل

 ریـاضـیـات

۱-هنگامیکه با یک مسئله بزرگ و پیچیده ریاضی مواجه میشوید...با آرامش کامل از نقطه شروع مسئله آن را بررسی کنید و این را بدانید که اکثر اوقات...اینگونه مسائل نکته ای دارند که با یافتن آن مسئله بسیار راحت و کوچک میشود.

۲-در آزمون های ریاضی هیچگاه برگه ی سوالات را از ابتدا تا آخر بررسی نکنید...از اولین سوال با آرامش شروع کنید و به ترتیب مسائل را حل کنید.

۳-سوال هایی را که احتیاج به وقت و تفکر بیشتری دارند و یا راه حل آنها طولانی است را پس از حل مسائل ساده تر انجام دهید تا با کمبود وقت مواجه نشوید.

۴-در صورتی که وقت کافی داشتید,حتما راه حل های خود را بار دیگر بررسی کنید. اگر برای چک کردن جواب ها پاسخی غیر از پاسخ داخل ورقه به دست آوردید,به سرعت پاسخ جدیدتر را جایگزین جواب قبل نکنید...برای بار سوم نیز آن مسئله را حل کرده و سپس جوابی را که چندین بار یکسان شد را یادداشت کنید.

و در آخر...اعتماد به هوش و توانایی هایتان همواره حرف اول را میزند!

موفق باشید. 



تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

سینوس

 

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

 تعریف

در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث روبه‌رو داریم:
sin A=\frac{BC}{AC} و sin C=\frac{AB}{AC}

مثلث ABC

تغییرات سینوس

اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

θ اندازه کمان 0 \nearrow \frac{\pi}{2} \nearrow π \nearrow \frac{3\pi}{2} \nearrow
sinθ 0 \nearrow 1 \searrow 0 \searrow -1 \nearrow 0
تابع سینوس x

 تابع سینوس

تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن می‌باشد.

 



تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

مــعــادلــه

 

معادله (واژه فارسی: هَمچَند) در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نماد‌هاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.

تعریف معادله در ریاضیات

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده‌ می‌شوند. مثلاً معادله

xx = 0

اتحاد است چون x هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله

x + 1 = 2

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار x عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، "جواب معادله" می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" می‌نامند.

 حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع f(x) = x − 1 را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

x + 1 − 1 = 2 − 1
x = 1

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که x تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است.




تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

اتــحــاد

اتحاد یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیتهای جبری در ریاضی بکار می‌رود.

کاربرد اتحاد

  • ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱۲
  • تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.

 انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

 مربع دو جمله ای

 

مربع سه جمله‌ای

 مکعب مجموع دو جمله

مزدوج

اتحاد جمله مشترک

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

 

 اویلر(اولر)

 

 

اتحاد لاگرانژ

 نیوتونی

 

 

 



  • دانلود فیلم
  • دانلود نرم افزار
  • قالب وبلاگ